Evoluční okrajová úloha

(vedení tepla)

\(\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \)    \(0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq t \leq T, \)

\(u(x,0)=\varphi(x),\)   \(0 \leq x \leq 1,\)

\(u(0,t)=\alpha(t), \, u(1,t)=\beta(t), \, 0 \leq t \leq T. \)

Aproximace prostorové derivace druhou centrání diferencí

\(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x_n) \approx \frac{1}{h^2} (u_{n+1}-2u_n+u_{n-1}), \, n=1,\dots,N \\ u_n(t)=u(x_n,t) \\ 0=x_0 < x_1 < \dots <x_N<x_{N+1}=1 \\ h:=x_{n+1}-x_n\)

Soustava obyčejných diferenciálních rovnic

\(\frac{d}{dt}U_n= \frac{1}{h^2} (U_{n+1}-2U_n+U_{n-1}), \, n=1,\dots,N \\ U_n(0)=\varphi(x_n)\)

Funkce \(U_0(t)=\alpha(t), \, U_{N+1}(t)=\beta(t)\) jsou dány okrajovými podmínkami.