Fourierovy \305\231ady Zad\303\241me funkci jej\303\255\305\276 Four. \305\231adu chceme po\304\215\303\255tat restart: f:=x^3-1; Vzorec pro Fourierovy koeficienty funkce f: a[0] a[0]:=1/Pi*int(f,x=-Pi..Pi); a[n] a[n]:=1/Pi*int(f*cos(n*x),x=-Pi..Pi); b[n] b[n]:=1/Pi*int(f*sin(n*x),x=-Pi..Pi); P\305\231\303\255slu\305\241n\303\241 Four. \305\231ada funkce f a[0]/2+Sum(a[n]*cos(n*x)+b[n]*sin(n*x),n=1..infinity)=a[0]/2+sum(a[n]*cos(n*x)+b[n]*sin(n*x),n=1..infinity); Vykreslen\303\255 Four. \305\231ady resp. posloupnosti jejich \304\215\303\241ste\304\215n\303\275ch sou\304\215t\305\257 Do posloupnosti soucet si ulozime posloupnost \304\215\303\241ste\304\215n\303\275ch sou\304\215t\305\257 Fourierovy \305\231ady a vykresl\303\255me je ( hodnoty prom\304\233nn\303\251 "k" ovliv\305\210uj\303\255 po\304\215et s\304\215\303\255tanc\305\257 v jednotliv\303\275ch sou\304\215tech ) Nejprve zad\303\241me pocet "sou\304\215t\305\257" resp. obr\303\241zk\305\257 (ulo\305\276\303\255me do prom\304\233nn\303\251 "pocet") pocet:=6: soucet:=seq(a[0]/2+sum(a[n]*cos(n*x)+b[n]*sin(n*x),n=1..k),k=1..pocet): Ulo\305\276\303\255me grafy jednotliv\303\275ch sou\304\215t\305\257 do pole grafy a pak je vykresl\303\255me grafy:=Array(1..pocet): for i from 1 to pocet do grafy[i]:=plot(soucet[i], x=-Pi..Pi) end do: with(plots): V\305\241echny sou\304\215ty v jednom obr\303\241zku display(seq(grafy[k],k=1..pocet));

Posloupnost obr\303\241zk\305\257 jednotliv\303\275ch sou\304\215t\305\257

for i from 1 to pocet do display(grafy[i]) end do;

Periodick\303\251 roz\305\241\303\255\305\231en\303\255 dann\303\251 funkce z intervalu <-Pi,Pi> na celou re\303\241lnou osu Nejprve zad\303\241me do prom\304\233nn\303\251 "nas"kolikr\303\241t se n\303\241m z\303\241kladn\303\255 interval roz\305\241\303\255\305\231\303\255 nas:=3: grafy_roz:=Array(1..pocet): for i from 1 to pocet do grafy_roz[i]:=plot(soucet[i], x=-Pi*nas..Pi*nas) end do: Posloupnost obr\303\241zk\305\257 jednotliv\303\275ch sou\304\215t\305\257 na roz\305\241\303\255\305\231en\303\251m intervalu

for i from 1 to pocet do display(grafy_roz[i]) end do;

V\305\241echny sou\304\215ty v jednom obr\303\241zku na roz\305\241\303\255\305\231en\303\251m intervalu display(seq(grafy_roz[k],k=1..pocet));

JSFH \303\232KOLY 1) Ud\304\233lejte rozvoj exp(x) do kosinov\303\251 a s\303\255nov\303\251 \305\231ady, nejprve pro z\303\241kladn\303\255 interval <-Pi,Pi>, pak pro roz\305\241\303\255\305\231en\303\275 interval. Op\304\233t vykreslete posloupnosti \304\215\303\241ste\304\215n\303\275ch sou\304\215t\305\257 (r\305\257zn\303\275ch "d\303\251lek", tj. r\305\257zn\303\275 po\304\215et s\304\215\303\255tanc\305\257) kosinov\303\251 a sinov\303\251 \305\231ady do graf\305\257 a porovnejte je s grafy posloupnost\303\255 \304\215\303\241ste\304\215n\303\275ch sou\304\215t\305\257 Four. \305\231ady exp(x) 2) Ud\304\233lejte rozvoj funkce f(x)=x do Four., kosinov\303\251 a s\303\255nov\303\251 \305\231ady, nejprve pro z\303\241kladn\303\255 interval pak pro roz\305\241\303\255\305\231en\303\275 interval. Op\304\233t vykreslete posloupnosti \304\215\303\241ste\304\215n\303\275ch sou\304\215t\305\257 (r\305\257zn\303\275ch "d\303\251lek", tj. r\305\257zn\303\275 po\304\215et s\304\215\303\255tanc\305\257) Four.,kosinov\303\251 a sinov\303\251 \305\231ady do graf\305\257 a porovnejte je. 3) Ud\304\233lejte rozvoj funkce f(x)=x^2 do Four., kosinov\303\251 a s\303\255nov\303\251 \305\231ady, nejprve pro z\303\241kladn\303\255 interval pak pro roz\305\241\303\255\305\231en\303\275 interval. Op\304\233t vykreslete posloupnosti \304\215\303\241ste\304\215n\303\275ch sou\304\215t\305\257 (r\305\257zn\303\275ch "d\303\251lek", tj. r\305\257zn\303\275 po\304\215et s\304\215\303\255tanc\305\257) Four.,kosinov\303\251 a sinov\303\251 \305\231ady do graf\305\257 a porovnejte je. 4 Na z\303\241klad\304\233 graf\305\257 z p\305\231\303\255klad\305\257 2) a 3) a) prove\304\217te diskuzi resp. porovnojte Four. \305\231adu z lich\303\251 funkce s kosinovou resp. sinovou \305\231adou ze stejn\303\251 lich\303\251 funkce b) prove\304\217te diskuzi resp. porovnojte Four. \305\231adu ze sud\303\251 funkce s kosinovou resp. sinovou \305\231adou ze stejn\303\251 sud\303\251 funkce 5) Vyzkou\305\241ejte si vykreslit (stejn\304\233 jako v p\305\231edchoz\303\255ch \303\272kolech) rozvoje n\303\241sleduj\303\255c\303\255ch funkc\303\255 a) Fouriorova \305\231ada f(x) = 0 pro x z intervalu <-Pi,0> = sin(x} pro x z intervalu <0,Pi> b) kosinov\303\241 \305\231ada f(x) = cos(x) pro x z intervalu <-Pi/2,0> = -cos(x) pro x z intervalu <0,Pi/2>