Obyčejné diferenciální rovnice - okrajové úlohy a asymptotická teorie

LOMTATIDZE Aleksandre
vedoucí prof. Lomtatidze

Členové: 
Alexander Lomtatidze, Zdeněk Opluštil, Jiří Šremr

Zaměření: 
Zabýváme se studiem kvalitativních vlastností řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Jedná se zejména o otázky existence a jednoznačnosti řešení různých okrajových úloh jak v lineárním, tak i nelineárním případě a závislosti řešení na parametrech vedoucí k bifurkačním úlohám. Zajímají nás také asymptotické vlastnosti řešení obyčejných diferenciálních rovnic, např. otázky stability a oscilatoričnosti řešení. Studované rovnice jsou motivovány úlohami objevujícími se v matematických modelech procesů v mechanice a jiných inženýrských oborech, např. rovnice Duffingova typu, rovnice s relativistických diferenciálním operátorem, rovnice s \(p\)-laplacianem. Hlavním nástrojem našeho výzkumu jsou metody matematické analýzy, které jsou vhodně přizpůsobeny pro studium jednotlivých úloh. 

Spolupráce s ostatními ústavy fakulty i mimo ní: 
Jsme otevřeni jakékoli spolupráci v oblastech našeho zájmu. Pro bližší představu níže uvádíme některé úlohy, kterými se v poslední době zabýváme.
    V současné době probíhá spolupráce s Odborem fluidního inženýrství Viktora Kaplana Energetického ústavu (zejména s panem profesorem Pochylým) v otázce matematického modelovaní pulzací kapaliny v uzavřené nádobě.

Některé oblasti výzkumu, výstupy:
Členové skupiny výsledky svého výzkumu publikují v tuzemských i mezinárodních odborných časopisech a prezentují na odborných seminářích a konferencích.
   V poslední době se zabýváme zejména následujícími úlohami:

  • Otázka existence, multilicity a struktury množiny všech periodických řešení neautonomní rovnice matematického kyvadla $$\small u''=p(t)\sin u+q(t),$$ kde \(\small p,q\) jsou libovolné \(\omega\)-periodické funkce lokálně lebesgueovsky integrovatelné, a jeho zobecnění pro rovnici s relativistickým diferenciálním operátorem $$\small \left(\frac{u'}{\sqrt{1-[u']^2}}\right)'=p(t)\sin u+q(t),$$ V současné době dokončujeme přípravu publikace:
    • Lomtatidze, A. On periodic solutions to relativistic pendulum-type equation.
  • Principy maxima/antimaxima a jejich souvislosti se stabilitou lineární diferenciální rovnice $$\small u''+g(t)u'+p(t)u=0$$ s nekonstantními periodickými koeficienty. I když se zdá, že se jedná o velmi jednoduchou diferenciální rovnici, zmiňované vlastnosti jsou podrobně vyšetřeny pouze v případě konstantního tlumícího koeficientu \(\small g\). V případě nekonstantního tlumícího koeficientu je spousta zajímavých otázek stále otevřena.
  • Existence a multiplicita kladných periodických řešení obyčejných diferenciálních rovnic Duffingova typu. Takové rovnice dostáváme běžně po aproximaci nelinearit v pohybových rovnicích různých oscilátorů pomocí Taylorových polynomů vyšších stupňů.

    Výsledky získané pro rovnice s nekonstantními koeficienty zobecňují vlastnosti autonomních rovnic. V autonomním případě, tj. pro rovnice s konstantními koeficienty, lze zmiňované vlastnosti odvodit vcelku lehce (např. vyšetřením chování fázových trajektorií v okolí ekvilibrií), avšak v neautonomním případě je třeba použít různé techniky kvalitativní teorie diferenciálních rovnic (věty o diferenciálních nerovnostech, horní a dolní funkce okrajové úlohy, Fredholmovy věty, Sturmovy  oddělovací a srovnávací věty atd.). Jako příklad můžeme uvést periodickou okrajovou úlohu $$\small u''=p(t)u+h(t)u^3+\mu f(t),\quad u(0)=u(\omega),\ u'(0)=u'(\omega),$$ kde \(\small p,h,f\) jsou funkce lebesgueovsky integrovatelné na intervalu \(\small [0,\omega]\) a \(\small\mu\) je reálný parametr. Některé naše výsledky o existenci a multipicitě kladných řešení této úlohy v závislosti na hodnotách parametru \(\small\mu\) lze nalézt v publikacích: Pro rovnici s \(\small\mu=0\) dokončujeme přípravu publikace:
    • Lomtatidze, A., Šremr, J. On a peridic problem for second order Duffing type equation.
  • Uzavíráme řadu našich publikací týkajících se oscilatorických vlastností pololineárních soustav obyčejných diferenciálních rovnic $$\small \begin{array}{l}u'=g(t)|v|^{1/\alpha}\mathrm{sgn}\,v,\\v'=-p(t)|u|^{\alpha}\mathrm{sgn}\,u,\end{array}$$ kde \(\small p,g\) jsou funkce lokálně lebesgueovsky integrovatelné na intervalu \(\small [0,+\infty[\). Za naši úvodní publikaci v této oblasti můžeme považovat na niž navazují publikace obsahující efektivní oscilační a neoscilační kritéria, například:
  • Pokračujeme ve studiu oscilatoričnosti řešení lineárních diferenciálních rovnic 2. řádu s odkloněným argumentem. Techniku vytvořenou pro zpožděné rovnice v článku jsme přizpůsobili i pro studium diferenciálních rovnic $$\small u''+p(t)u(\tau(t))=0,$$ se zrychlenným argumentem (tj. pro případ \(\small\tau(t)\geq t\)) a získané výsledky jsou zaslány k publikaci:
    • Opluštil, Z. Oscillation criteria for the second-order linear advanced differential equations. Applied Mathematics Letters.

Bakalářské a diplomové práce:
Témata závěrečných prací jsou vypisována jak z oblasti prováděného výzkumu, tak i z oblasti aplikací diferenciálních rovnic ve fyzice a inženýrských oborech. Jsou také vypisována témata z ostatních oblastí matematické analýzy, které nejsou zahrnuty ve studijních programech a mohou tak rozšířit znalosti studentů matematického inženýrství.

Repetitoria 2M a BM

"S námi to dáš!" - doučování pro prváky strojaře
Autorem článku je Jana HODEROVÁ
ZOBRAZIT VÍCE AKTUALIT