Vážené kolegyně, vážení kolegové,

Ústav matematiky FSI VUT v Brně by Vám - středoškolským učitelům matematiky, fyziky, odborných předmětů a zájmových kroužků – rád nabídnul možnost:

• obohatit Vaši běžnou výuku/seminář/kroužek/projektový den,
• seznámit Vaše studenty s tématy, kde je zřejmé využití matematických metod,
• zprostředkovat přednášku našich studentů matematiky na téma jejich bakalářských prací - je úžasné vidět, kam se jejich znalosti a schopnosti posunuly za 3 roky od střední školy, navíc mají ke středoškolákům stále velmi blízko. Výběr vhodných témat+studentů bychom nabídli na požádání.

Zde je nabídka témat přednášek našich kolegů, která se nám zdají být vhodná a atraktivní právě pro středoškoláky. Délka přednášky je plánovaná na dvouhodinovku, ale u většiny témat jsme schopni se přizpůsobit a zkrátit přednášku na hodinu. (Všechny naše přednášky jsou samozřejmě poskytovány zdarma.)

Co kdybychom se na svět kolem dívat jako na hru. Jako na konflikt kdy zisk jednoho znamená ztrátu druhého. Byly bychom schopni zvolit optimální strategii našeho chování? Nebo naopak, pokud bychom chtěli tvořit koalice s ostatními  má větší smysl preferovat koaliční potenciál, nebo minimalizovat průměrné  "naštvání" všech zúčastněných. A co férovost, nebo jakou roli může hrát altruismus a proč si občas listovat v Talmudu. Přednáška je stručným úvodem do teorie her s ukázkami realizovaných aplikací.

Jak spočítat pozici koncového bodu kinematického řetězce (třeba robotické ruky) a jak to udělat rychle. Stačí nám reálná čísla, nebo potřebujeme komplexní? Třeba nám ani komplexní čísla nestačí. Na co přišel Sir Hamilton když v jednom Irském městě přecházel přes most. Existují různé rovnice popisující různé problémy robotiky, nebo jedna rovnice a problém je volba prosotoru ve kterém rovnici počítáme? Přednáška je o robotice, číslených oborech a o tom jak se dá i hodně abstratní algebra inženýrsky aplikovat.

Poutavé vyprávění skvělého Miloše Druckmüllera o expedicích za úplným zatměním Slunce a obrazové analýze. Za pomoci matematických metod dokáže zpracovávat snímky sluneční koróny tak, že na světě nemá konkurenci. Ve spolupráci s astrofyzičkou prof. Shadií Habbal z University of Hawaii publikovali převratné výsledky, které mění pohled fyziků na chování a vlastnosti sluneční koróny. 

Problematika hledání vhodných pronásledovacích a únikových strategií zahrnuje srozumitelně formulované problémy, zajímavá řešení a pestrý související matematický aparát z oblasti optimalizace, matematické analýzy, či geometrie. Ačkoliv jde o tradiční oblast aplikované matematiky, pro důvtipné studenty zde stále zůstává značný prostor pro zodpovězení dosud nerozřešených, či jen částečně rozřešených problémů (viz např. slavný Lost in a Forest Problem amerického matematika R. Bellmana).

Jak zjistit tloušťku vlákna tenčího než milimetr již během výroby? Jak souvisí derivace a fotky? A kde se v takovém problému objeví kuželosečky? Na to vše odpoví matematika ve zpracování obrazu.

Jak jsou fotky uložené? Jak se počítá negativ? Jak se fotka zaostří a jak zesvětlá? Ukázka použití matic, vektorů a funkcí.
Poznámka: Na místě by se hodil více než jeden počítač.

Jak si při tajné komunikaci domluvit šifrovací klíč, když se nemůžeme setkat? RSA, ECC a další kryptosystémy.

O co se matematika opírá a co vede k paradoxům a neřešitelným otázkám.

Proč se přešlo od otázek řešitelnosti algebraických rovnic k abstraktním strukturám typu grup. A žijeme ve světě konečných struktur nebo nekonečných?

Jak přidat k prostorovým souřadnicím časovou a co je to světelný kužel. Jsou možné časové smyčky?

Téma je vhodné do konstruktivní geometrie. Pomocí listu papíru, provázku a tužky lze snadno demonstrovat myšlenku konstrukce šroubovice a její tečny. Můžeme narýsovat šroubovici v Mongeově promítání, kde je krásně vidět redukční úhel, studenti by zřetelně viděli, že šroubový pohyb je složený s otočení a posunutí.

Jak vypadá taková matice? Dají se matice sčítat a násobit? Díky násobení matic lze otáčet nejen body a i přímkami, kružnicemi,... Zvednutím dimenze lze pomocí matic objekty také velmi efektivně posouvat. Ukážeme maticovou reprezentaci základních typů zobrazení (posunutí, rotace, symetrie, stejnolehlost) a aplikace v kinematické geometrii, rovnoběžném a středovém promítání.

 I jevy s pravděpodobností nula se stávají každý den :-)

Metoda nejmenších čtverců.

V přednášce se studenti např. dozvědí, že v matematice je víc než jen jedno nekonečno a některé dobře známé operace s nekonečnem se mohou chovat velmi nestandardně. Budou též varováni, že nesprávné uchopení pojmu nekonečna může vést k zajímavým paradoxům. Dále uvidí, že dobré porozumění procesů zahrnujících nekonečno je nezbytné k řešení mnoha praktických úloh a že nekonečno má své důležité místo i při používání počítačů.

Jak pohnout bodem nebo hmotným tělesem? Jinými slovy, jak spočítat polohu bodu po předepsaném pohybu (otočení a posunutí)? Klasicky pomocí matic, i když v různých vektorových prostorech (vektorový prostor nebo jeho afinní rozšíření). Lepší způsob je počítat pozice pomocí kvaternionů, tedy prvků se třemi komplexními jednotkami. Zní to složitě, ale je to mnohem jednodušší než se zdá. Navíc popis pohybu v kvaternionech odpovídá mnohem lépe naší geometrické představě. Během přednášky se pokusíme ukázat na příkladech postupy, vysvětlit pojmy a odpovědět na otázky, hlavně na tu základní: "K čemu to je?" Navíc naznačíme i směr, kterým se ubírat, pokud toužíme po ještě dokonalejším modelovém prostoru pro pohyb hmotného tělesa.

Přednáška ukáže, jak se pomocí 3D hloubkové kamery nebo LiDARu vytváří 3D modely. Poté jsou velmi jednoduše ukázány zajímavé algoritmy, které slouží k zpracování těchto 3D dat, tzv. mračen bodů. Některé části algoritmů využívají i středoškolskou matematiku (např. analytickou geometrii). Popíšeme také, k čemu všemu lze tyto 3D skenovací techniky využít v praxi - samořiditelná vozidla, lokalizace, reverzní inženýrství, architektura.

Úvod do problematiky, aplikace v Matlabu, příklady z praxe.

The original formulation of calculus by Leibniz and Newton was based on the "paradoxical" notion of infinitesimals: objects of nonzero magnitude which (somehow!) are of smaller magnitude than any real number.  Limits were introduced in the 19th century as a way of avoiding these infinitesimals, which many assumed to be absurd.  It was only in the 1950s that work in model theory---a field of mathematical logic---showed that these nonstandard numbers are not paradoxical, that it is possible to work with the real numbers with infinitesimals, and that, in fact, we cannot distinguish them in any meaningful way from the standard real numbers!  All of this comes from the Compactness Theorem for first-order logic, a magic trick for creating strange new mathematical worlds.

The classic Liar's Paradox is the statement "This is a lie."  If true, it is a lie and therefore false.  If false, it is a lie and therefore true.  The problem is one of self-reference (or diagonalization): anytime a statement can refer to itself ("This statement is blue") or its truth or falsity, this problem appears.  You might hope that mathematics is safe from this kind of paradox, but it is not!  In any system of mathematics powerful enough to do basic arithmetic, there is a mathematical statement that says "I cannot be proven."  This fact, discovered by Kurt Gödel (born in Brno!) leads to his famous First Incompleteness Theorem.  That theorem, one of the most important in the history of mathematics, says that in any such system, there will always be statements that can neither be proven nor disproven, including the statement "I cannot be proven" (this, too, is paradoxical, though it takes a little more work to see).  This tells us that formal mathematical methods, as nice as they are, cannot possibly tell us everything we'd like to know... 

Ukázka jednoduchého modelování dopravní situace, ukázka jednoho z mechanismů, jak vzniká dopravní zácpa na rovné silnici.

Principy a podstata numerických metod. Chyba výpočtu - nakolik lze věřit získaným výsledkům. Matika, programování a zdravý rozum, toť dobré předpoklady státi se matematickým inženýrem.

Z fyziky víme, že těleso zavěšené na pružině kmitá harmonickými kmity a že perioda kmitání je stejná při libovolné počáteční výchylce. Necháme-li však těleso kmitat horizontálně, dostaneme velmi jednoduchý oscilátor, který však může kmitat dosti „složitými“ kmity. Ukážeme si animace takových kmitů při různých počátečních výchylkách a vysvětlíme, jak nám matematika může pomoci zjistit, jestli jsou některé kmity periodické.

Pojem matematického kyvadla se již mnoho desítek let vyskytuje v každé učebnici mechaniky. Ze střední školy víme, že při malých výchylkách je průběh kmitání (kývání) přibližně harmonický. Vysvětlíme, jak lze pohyb kyvadla matematicky popsat, ukážeme si animace skutečných kmitů při různých počátečních výchylkách a porovnáme je s přibližnými harmonickými kmity.

Přednáška vytahuje střípky matematiky z knihy o putování a téměř věčném hledání. Setkáte se v rámci ní s výrokovou logikou a Gödelovou neúplností, geometrickou řadou, Paretovou optimalizací, teorií her, Dirichletovým principem, sférickou a rovinnou geometrií, Kleinovou lahví a dalšími matematickými principy.

Co má společného šíření drbů a nemocí? A jak je matematicky popsat a předpovídat?

 

a další, například:

• Rychlokurz popisné statistiky, Ing. Pavel Hrabec
• Teorie kuželoseček, Ing. Pavel Loučka

Pokud Vás některá témata zaujala a chtěli byste Vašim studentům kontakt s vysokoškolským světem a zajímavá témata k přemýšlení poskytnout, tak jsou tři možnosti:

• buď za námi vyrazíte na exkurzi na Fakultu strojního inženýrství VUT v Brně, Technická 2, 616 69 Brno (na základě našich časových možností během semestru pro Vás připravíme program na míru),
• nebo my rádi přijedeme na Vaši školu,
• nebo zvládneme přednášku distanční formou.

Studenti a absolventi našeho studijního programu Matematické inženýrství mají s aplikovatelností matematických a statistických metod a znalostí z informatiky bohaté zkušenosti a dobře vědí, že díky matematice najdou skvělé uplatnění na trhu práce. Tuto zásadní informaci bychom rádi předali Vašim studentům a zvýšili jejich motivaci studovat technické obory a třeba i přímo matematiku.

V každém případě se těšíme na setkání a případně i pravidelnou spolupráci. Věříme, že Vám i Vašim studentům máme co nabídnout.

Kontaktní osoba:
Mgr. Jitka Zatočilová, Ph.D.
zatocilova@fme.vutbr.cz