Vážené kolegyně, vážení kolegové,

Ústav matematiky FSI VUT v Brně by Vám - středoškolským učitelům matematiky, fyziky, odborných předmětů a zájmových kroužků – rád nabídnul možnost:

• obohatit Vaši běžnou výuku/seminář/kroužek/projektový den,
• seznámit Vaše studenty s tématy, kde je zřejmé využití matematických metod,
• zprostředkovat Vašim studentům vysokoškolský přístup k danému tématu.

Zde je nabídka témat přednášek, která se nám zdají být vhodná a atraktivní právě pro středoškoláky. Délka přednášky je plánovaná na dvouhodinovku, ale u některých témat jsme schopní se přizpůsobit:

Co kdybychom se na svět kolem dívat jako na hru. Jako na konflikt kdy zisk jednoho znamená ztrátu druhého. Byly bychom schopni zvolit optimální strategii našeho chování? Nebo naopak, pokud bychom chtěli tvořit koalice s ostatními  má větší smysl preferovat koaliční potenciál, nebo minimalizovat průměrné  "naštvání" všech zúčastněných. A co férovost, nebo jakou roli může hrát altruismus a proč si občas listovat v Talmudu. Přednáška je stručným úvodem do teorie her s ukázkami realizovaných aplikací.

Jak spočítat pozici koncového bodu kinematického řetězce (třeba robotické ruky) a jak to udělat rychle. Stačí nám reálná čísla, nebo potřebujeme komplexní? Třeba nám ani komplexní čísla nestačí. Na co přišel Sir Hamilton když v jednom Irském městě přecházel přes most. Existují různé rovnice popisující různé problémy robotiky, nebo jedna rovnice a problém je volba prosotoru ve kterém rovnici počítáme? Přednáška je o robotice, číslených oborech a o tom jak se dá i hodně abstratní algebra inženýrsky aplikovat.

Poutavé vyprávění skvělého Miloše Druckmüllera o expedicích za úplným zatměním Slunce a obrazové analýze. Za pomoci matematických metod dokáže zpracovávat snímky sluneční koróny tak, že na světě nemá konkurenci. Ve spolupráci s astrofyzičkou prof. Shadií Habbal z University of Hawaii publikovali převratné výsledky, které mění pohled fyziků na chování a vlastnosti sluneční koróny. 

Problematika hledání vhodných pronásledovacích a únikových strategií zahrnuje srozumitelně formulované problémy, zajímavá řešení a pestrý související matematický aparát z oblasti optimalizace, matematické analýzy, či geometrie. Ačkoliv jde o tradiční oblast aplikované matematiky, pro důvtipné studenty zde stále zůstává značný prostor pro zodpovězení dosud nerozřešených, či jen částečně rozřešených problémů (viz např. slavný Lost in a Forest Problem amerického matematika R. Bellmana).

Jak zjistit tloušťku hýbajícího se objektu tenčího než milimetr? Dá se povrch vymodelovat z pouhého snímku? Co je to vlastně barva? Na to vše pomocí konkrétních příkladů odpoví matematika ve zpracování obrazu.

Jak jsou fotky uložené? Jak se počítá negativ? Jak se fotka zaostří a jak zesvětlá? Ukázka použití matic, vektorů a funkcí.
Poznámka: Na místě by se hodil více než jeden počítač.

Jak si při tajné komunikaci domluvit šifrovací klíč, když se nemůžeme setkat? RSA, ECC a další kryptosystémy.

O co se matematika opírá a co vede k paradoxům a neřešitelným otázkám.

Proč se přešlo od otázek řešitelnosti algebraických rovnic k abstraktním strukturám typu grup. A žijeme ve světě konečných struktur nebo nekonečných?

RSA, ECC a další kryptosystémy. Jak přidat k prostorovým souřadnicím časovou a co je to světelný kužel. Jsou možné časové smyčky?

Téma je vhodné do konstruktivní geometrie. Pomocí listu papíru, provázku a tužky lze snadno demonstrovat myšlenku konstrukce šroubovice a její tečny. Můžeme narýsovat šroubovici v Mongeově promítání, kde je krásně vidět redukční úhel, studenti by zřetelně viděli, že šroubový pohyb je složený s otočení a posunutí.

Jak vypadá taková matice? Dají se matice sčítat a násobit? Díky násobení matic lze otáčet nejen body a i přímkami, kružnicemi, ... Zvednutím dimenze lze pomocí matic objekty také velmi efektivně posouvat. Ukážeme maticovou reprezentaci základních typů zobrazení (posunutí, rotace, symetrie, stejnolehlost) a aplikace v kinematické geometrii, rovnoběžném a středovém promítání.

 I jevy s pravděpodobností nula se stávají každý den :-)

Metoda nejmenších čtverců.

V přednášce se studenti např. dozvědí, že v matematice je víc než jen jedno nekonečno a některé dobře známé operace s nekonečnem se mohou chovat velmi nestandardně. Budou též varováni, že nesprávné uchopení pojmu nekonečna může vést k zajímavým paradoxům. Dále uvidí, že dobré porozumění procesů zahrnujících nekonečno je nezbytné k řešení mnoha praktických úloh a že nekonečno má své důležité místo i při používání počítačů.

Jak pohnout bodem nebo hmotným tělesem? Jinými slovy, jak spočítat polohu bodu po předepsaném pohybu (otočení a posunutí)? Klasicky pomocí matic, i když v různých vektorových prostorech (vektorový prostor nebo jeho afinní rozšíření). Lepší způsob je počítat pozice pomocí kvaternionů, tedy prvků se třemi komplexními jednotkami. Zní to složitě, ale je to mnohem jednodušší než se zdá. Navíc popis pohybu v kvaternionech odpovídá mnohem lépe naší geometrické představě. Během přednášky se pokusíme ukázat na příkladech postupy, vysvětlit pojmy a odpovědět na otázky, hlavně na tu základní: "K čemu to je?" Navíc naznačíme i směr, kterým se ubírat, pokud toužíme po ještě dokonalejším modelovém prostoru pro pohyb hmotného tělesa.

Na řadě obrázků je vysvětlen principdetekování původního objektu na základě "mračna bodů" získaného skenováním. Zajímavé aplikace, práce s mračny. 

Úvod do problematiky, aplikace v Matlabu, příklady z praxe.

Teorie modelů, neúplnost, nekonečné množiny, nestandardní analýza

Ukázka jednoduchého modelování dopravní situace, ukázka jednoho z mechanismů, jak vzniká dopravní zácpa na rovné silnici.

Principy a podstata numerických metod. Chyba výpočtu - nakolik lze věřit získaným výsledkům. Matika, programování a zdravý rozum, toť dobré předpoklady státi se matematickým inženýrem.

Z fyziky víme, že těleso zavěšené na pružině kmitá harmonickými kmity a že perioda kmitání je stejná při libovolné počáteční výchylce. Necháme-li však těleso kmitat horizontálně, dostaneme velmi jednoduchý oscilátor, který však může kmitat dosti „složitými“ kmity. Ukážeme si animace takových kmitů při různých počátečních výchylkách a vysvětlíme, jak nám matematika může pomoci zjistit, jestli jsou některé kmity periodické.

Pojem matematického kyvadla se již mnoho desítek let vyskytuje v každé učebnici mechaniky. Ze střední školy víme, že při malých výchylkách je průběh kmitání (kývání) přibližně harmonický. Vysvětlíme, jak lze pohyb kyvadla matematicky popsat, ukážeme si animace skutečných kmitů při různých počátečních výchylkách a porovnáme je s přibližnými harmonickými kmity.

V přednášce budeme diskutovat základní myšlenky konstrukce číselných oborů. Ukážeme si, že stačí „axiomaticky“ zavést pouze množinu přirozených čísel, která má jednoduchou a intuitivní strukturu a se kterou se setkáváme již od dětství. Ostatní číselné množiny již pak vytvoříme (sestrojíme) na základě „potřebných vlastností“ a to tak, že jednodušší struktury jsou vždy vnořeny do složitějších.

a další, například:

• Rychlokurz popisné statistiky, Ing. Pavel Hrabec
• Teorie kuželoseček, Ing. Pavel Loučka

Pokud Vás některá témata zaujala a chtěli byste Vašim studentům kontakt s vysokoškolským světem a zajímavá témata k přemýšlení, tak jsou tři možnosti:

• buď za námi vyrazíte na exkurzi na Fakultu strojního inženýrství VUT v Brně, Technická 2, 616 69 Brno (na základě našich časových možností během semestru pro Vás připravíme program na míru),
• nebo my rádi přijedeme na Vaši školu,
• nebo zvládneme přednášku distanční formou.

Studenti a absolventi našeho studijního programu Matematické inženýrství mají s aplikovatelností matematických a statistických metod a znalostí z informatiky bohaté zkušenosti a dobře vědí, že díky matematice najdou skvělé uplatnění na trhu práce. Tuto zásadní informaci bychom rádi předali Vašim studentům a zvýšili jejich motivaci studovat technické obory a třeba i přímo matematiku.

V každém případě se těšíme na setkání a případně i pravidelnou spolupráci. Věříme, že Vám i Vašim studentům máme co nabídnout.

Kontaktní osoba:
Mgr. Jana Hoderová, Ph.D.
tajemnice pro studijní program Matematické inženýrství
hoderova@fme.vutbr.cz